Somme des angles

Introduction
Qui n'a pas un jour résolu des problèmes en utilisant la propriété : la somme des angles d'un triangle plan est égale à $$2\pi$$. ?

Avant d'aborder les démonstrations, indiquons tout de suite que cette propriété est vrai dans le plan dit euclidien. Nous verrons donc dans un premier temps le cas dans le plan euclidien, et dans un second temps d'autres cas intéressants.

La plus "euclidienne"
Cette démonstration découle du postulat qui veut que dans un plan euclidien, il ne passe par un point donné qu'une et une seule droite qui soit parallèle à une autre droite donnée. Pour être plus précis, ce postulat découle du 5ème postulat d'Euclide que l'on retrouve dans le Livre 1 des Eléments géométriques d'Euclide.

Soit un triangle quelconque ABC du plan euclidien. Soient D2 la demi droite BC et D3 la demi droite AC. Si on reporte l'angle (CAB) en C en partant de D3, on obtient la droite D1.Si on reporte en C, par rapport à D2, l'angle (ABC), alors on obtient D1'. Par construction, D1 et D1' étant parallèles à AB, alors, d'après le postulat d'euclide cite plus haut, on peut affirmer que D1 = D1'. La figure illustre donc bien que la somme des trois angles est égale à l'angle plat, soit 180°.

La démonstration de Mr Triangle
Je ne sais pas si cela peut être considéré ou pas comme une démonstration. Considérons 3 points A, B et C distincts et non alignés sur un plan euclidien. Imaginons notre Mr Triangle partant du point A en direction du point B. Son parcours est toujours en ligne droite. Lorsqu'il atteint le point B, il pivote de manière à se retrouver face au point C. Il a alors effectué une rotation d'angle $$\beta'$$. Il se dirige maintenant vers le point C de la même manière et lorsqu'il l'atteint, effectue une rotation d'angle $$\gamma'$$ de manière à se retrouver face au point A. Il effectue la même opération vers le point A, et lorsqu'il l'atteint, effectue une rotation d'angle $$\alpha'$$ de manière à de retrouver face au point C, c'est à dire dans sa position de départ. Mr Triangle a donc effectué une rotation totale équivalente à un demi tour, soit d'une valeur de $$2\pi$$. Cela signifie donc que $$\alpha'+\beta'+\gamma'=2\pi$$. Comme nous avons les égalités $$\alpha'=\pi-\alpha$$, $$\beta'=\pi-\beta$$ et $$\gamma'=\pi-\gamma$$, cela nous permet d'écrire que $$\pi-\alpha+\pi-\beta+pi-\gamma=2\pi$$ donc $$\alpha+\beta+\gamma = \pi$$.

Autres cas intéressants
Article à développer sur les triangles dans les plans non euclidiens par exemple