Médiatrices et cercle circonscrit

Les médiatrices d'un triangle sont concourantes au centre du cercle circonscrit.

Démonstration
Soient les médiatrices $$ M_1, M_2, M_3$$ du triangle $$ABC$$. $$ M_1, M_2, M_3$$ étant respectivement les médiatrices de $$AB, BC et AB$$. Par définition, nous avons:

$$ AB \perp M_1$$

$$ BC \perp M_2$$

$$ AC \perp M_3$$

Le théorème de Pythagore nous permet d'écrire:

$$AO^2=AD^2+DO^2$$

$$BO^2=BD^2+DO^2$$

Par construction:

$$AD=DB \Rightarrow AO=BO$$

Par symétrie on a:

$$CO=AO$$

$$O$$ est donc le centre d'un cercle $$C_i$$ passant par les points $$A, B et C$$. Ce cercle est donc circonscrit au triangle.